Dobré čísla - čo je za nimi?

Zaujal ma článok viceguvernéra NBS, v ktorom otvoril úvahy “o tom, ako a kedy začať proces resuscitácie (aspoň časti) ekonomiky.” Plne sa s autorom zhodnem, že  “čísla o nakazených na Slovensku vyzerajú (našťastie) veľmi dobre.” a tiež, že  “pri zmene taktiky boja budeme potrebovať aj súčinnosť obyvateľov. Preto im treba včas vysvetliť, ako sa veci majú.”

Vychádzajúc z optimistických čísel autor usudzuje, že "sme možno preskočili fázu kladiva“ a "exponenciálneho nárastu nových prípadov". Opiera sa pritom o matematický SIR model, ktorý skutočne pomerne verne predikuje vývoj epidémie v najzasiahnutejších krajinách a naznačuje, že počty aktívnych prípadov v nich už začnú klesať.

Napriek týmto dobrým správam mám veľmi vážne obavy, že optimizmus naozaj nie je na mieste.  Pokúsim sa ich vysvetliť:

Ako matematika, ktorý má tiež isté skúsenosti s modelovaním, ma prirodzene zaujíma, čo je tým mechanizmom resp. veličinou, ktorá počiatočný exponenciálny rast počtu nových nakazených dokáže najprv zastaviť a nakoniec zmeniť na pokles.

V SIR modely, na ktorý sa autor odvoláva, je počet nových nakazených (teda senzitívnych ľudí, ktorý sa počas daného obdobia stali infekčnými) popísaný veličinou:

ß · I · S/N

I a S sú premenné závislé od času reprezentujúce aktuálny počet infekčných resp. senzitívnych (t.j. tých, ktorí ešte infikovaní môžu byť),  N je veľkosť populácie a ß vyjadruje pravdepodobnosť prenosu infekcie. V Číne, Južnej Kórei, a najnovšie aj v Taliansku a Španielsku počet novo nakazených, teda súčin ß · I · S/N, už klesá (pozrite tu ).

Kľúčovou otázkou však zostáva, ktorý z činiteľov vlastne klesá?

Štandardný SIR model predpokladá, že ß je konštanta. Počet infekčných I klesá až v záverečnej fáze, keď počet obetí a vyliečených spolu za jeden deň presiahne počet novo nakazených, čo ešte zďaleka neplatí pre Taliansko ani Španielsko. (Dáta nájdete tu) Teda, pokles počtu novo nakazených by mal byť spôsobený  výrazným poklesom činiteľa S/N.

Problém aplikácie štandardného modelu je v tom, že veličina S/N v žiadnej z krajín takmer vôbec neklesla  zo svojej počiatočnej hodnoty 1.0. V Číne je 0.99994, Kórei 0.9998, Taliansku 0.9978 a Španielsku 0.9972. Aj keby bol skutočný podiel obyvateľstva, ktoré už nákazu prekonalo, v týchto krajinách mnohonásobne vyšší ako ukazujú čísla, je stále príliš malý aby  mohol byť príčinou spomalenia či dokonca zastavenia šírenia epidémie. Je tiež krajne nepravdepodobné, že by na Slovensku ochorenie už prekonala významná časť obyvateľstva, bez toho aby si to všimla. Preto príčinou optimistických čísel musí byť výrazný pokles veličiny ß, odzrkadlujúci zmenu správania obyvateľstva a radikálne opatrenia vlád na obmedzenie pohybu. 

Vďaka prijatým opatreniam by sme sa na Slovensku do “fázy exponenciálneho nárastu nových prípadov” skutočne nemuseli dostať. To však ale vôbec neznamená, že “sme ju preskočili”. Naopak, kým významná časť populácie neprekoná nákazu (stane sa imúnna resp. jej podľahne) alebo nebude k dispozícii účinná vakcína, máme ju stále pred sebou. Akonáhle obmedzenia výraznejšie zmiernime,  exponenciálny rast spustíme. Jediný voľne pohybujúci sa nakazený môže kedykoľvek spustiť novú vlnu epidémie. Vývoj môže byť rovnako dramatický ako ukazujú čísla z posledných mesiacov: V počiatočných fázach epidémie COVID-19, pred prijatím účinných opatrení, sa počet nakazených zdvojnásobil každé 2 až 3 dni (v krajinách mierneho pásma). Pozri graf tu. To však znamená, že bez účinných opatrení, bude v novej vlne už po jednom až dvoch mesiacoch opäť milión nakazených. Ak sa nenájde očkovanie, môžu sa vlny opakovať aj desaťročia, kým nebude imúnna podstatná časť populácie. Myslím, že ani pre ekonomiku to žiadna dobrá správa nie je.