S největšími cyklistickými úspěchy je spojeno jeho působení v dresu tehdejšího armádního klubu ÚDA Praha, kde absolvoval vojenskou základní službu.
V letech 1953 - 1963 patřil mezi nejlepší cyklisty Československa. Společně s J. Veselým,
Vl. Růžičkou a J. Kubrem tvořili základ týmu pro Závod míru, jehož byl několikanásobným účastníkem, v letech 1954 - 1955 jako člen vítězného družstva. Mezi jeho největší úspěchy
patřil jeho 8.ročník, kdy (5. 5. 1955) ve IV. etapě z Tábora do Karlových Varů (215 km) zvítězil a v následujícím ročníku ve stejný den v etapě tentokrát z Katovic do Vratislavi (185 km) skončil na stříbrném stupínku za vítězným Kolumbetem. Nejlepšího celkového výsledku pak dosáhl o tři roky později v roce 1959, kdy obsadil dvanácté místo.
Josef Křivka dosáhl také řady úspěchů při mistrovství Československa na silnici, v cyklokrosu i v závodě za motorovými vodiči. Mistrem se stal v roce 1954, čtyřikrát byl druhý a jednou třetí. V roce 1957 se stal vítězem nejdelšího závodu u nás, Praha - Karlovy Vary - Praha a dvakrát skončil druhý v etapovém závodě Kolem Slovenska.
Josef Křivka zemřel předčasně po těžké nemoci v Praze v roce 1971 ve věku 41 let.
Již tři roky po jeho smrti byla položena tradice jedné z nejvýznamnějších pardubických sportovních akcí, cyklistického kritéria v samém centru města, Memoriálu Josefa Křivky. Jeho pořádání se ujaly pardubické cyklistické kluby, neboť mnoho pardubických cyklistů projelo společně s Křivkou nespočet tréninkových kilometrů. Již od samého začátku byl Memoriál obsazován cyklisty těch nejzvučnějších jmen, byl většinou posledním doladěním formy před Závodem míru. Účast na tomto sportovním podniku byla a dosud je vždy prestižní záležitostí. O významu tohoto závodu vypovídá i to, že záštitu nad závodem tradičně přijímá primátor města Pardubic a je již mnoho let zařazován mezi významné sportovní akce města.
Tento ročník bude obsazen největším počtem cyklistů a cyklistek a to ve všech kategoriích. Přijede po dlouhé době i polský tým Grupa Kolarska Gliwice.
Každá kategorie je velmi silně obsazena. Vyhraje v kategorii Juniorů Pavel Bittner z MAPEI MERIDA Kaňkovský, který loni, ještě jako Kadet, odjel krátce po startu a udělal si ze závodu individuální časovku? V kategorii Ženy bude DUKLA Praha těžit z početní převahy, překvapí je některá z ostatních žen? V kategorii Elite obhájí ELKOV AUTHOR CYCLING TEAM svoji dlouholetou pozici vítězů, nebo vyhraje domácí tým TOPFOREX - LAPIERRE PRO CYCLING TEAM? Po několikaleté absenci se také můžeme těšit na závodníky týmu AC SPARTA Praha a TJ FAVORIT Brno.
Přijďte fandit a podpořit své favority, favoritky v jedinečném závodě v centru města Pardubice! Ve čtvrtek 25. dubna 2019 - kategorie Kadetů startuje v 17:40; kategorie Juniorů startuje v 18:20 a kategorie Elite startuje v 19:20 hodin.
